最小拍控制器

Deadbeat Response 最少调节时间/暂态过程时间最少系统

在经典输入信号作用下，系统可经过最小拍使输出响应的稳态误差为零。（某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态）实现时间最优控制

一、最小拍系统的具体要求

无静差：特定参考输入信号，在达到稳态后，在采样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差
最小拍：在有限拍内达到稳态，准确跟随输入信号所需的采样周期最少
可实现：必须在物理上可实现
稳定：闭环系统必须稳定

二、最小拍控制控制器的设计

广义对象传递函数：

\begin{array}{r} G (z) = Z [G_{h} (s) G_{0} (s)] = G_{h} G_{0} (z) = (1 - z^{- 1}) Z [\frac{G_{0} (s)}{s}] \end{array}

Important

注意要写为标准型，便于观察是否存在单位圆外的零极点，例如：

\begin{array}{r} G (z) = \frac{z^{- 1} (a + z^{- 1})}{(b + c z^{- 1})} = \frac{a}{b} \frac{z^{- 1} (1 + \frac{1}{a} z^{- 1})}{(1 + \frac{c}{b} z^{- 1})} \end{array}

1. 输入信号的类型（基础）

根据输入信号的类型，在误差传递函数上消除误差

输入信号的一般形式及稳态误差：

\begin{array}{r} r (t) = t^{n - 1} \Rightarrow R (z) = \frac{A (z)}{(1 - z^{- 1})^{n}} e (\infty) = lim_{z \to 1} (1 - z^{- 1}) R (z) Φ_{e} (z) = 0 \end{array}

满足稳态误差为零且最小拍的误差传递函数：

\begin{array}{r} Φ_{e} (z) = \frac{E (z)}{R (z)} = (1 - z^{- 1})^{n} \end{array}

得到期望的闭环传递函数：

\begin{array}{r} Φ (z) = \frac{Y (z)}{R (z)} = 1 - Φ_{e} (z) = 1 - (1 - z^{- 1})^{n} = m_{1} z^{- 1} + m_{2} z^{- 2} + \dots + m_{n} z^{- n} \end{array}

进一步得到数字控制器：

\begin{array}{r} D (z) = \frac{U (z)}{E (z)} = \frac{Φ (z)}{G (z) Φ_{e} (z)} = \frac{1 - (1 - z^{- 1})^{m}}{G (z) (1 - z^{- 1})^{m}} \end{array}

{\begin{cases} R (z) = \frac{A (z)}{(1 - z^{- 1})^{N}} \Rightarrow Φ_{e} (z) = (1 - z^{- 1})^{N} \\ G (z) \Rightarrow Φ (z) = m_{1} z^{- 1} + m_{2} z^{- 2} + \dots + m_{N} z^{- N} \end{cases}

输入信号	误差传递函数	闭环传递函数
单位阶跃 $1 (t)$	$1 - z^{- 1}$	$z^{- 1}$
单位速度 $t$	$(1 - z^{- 1})^{2}$	$2 z^{- 1} - z^{- 2}$
单位加速度 $\frac{1}{2} t^{2}$	$(1 - z^{- 1})^{3}$	$3 z^{- 1} - 3 z^{- 2} + z^{- 3}$

2. 对象存在纯滞后

如果对象存在纯滞后，需要在闭环传递函数上将纯滞后消除

\begin{array}{r} D (z) = \frac{1}{G (z) z^{- (M + 1)}} \frac{Φ (z) z^{- M}}{Φ_{e}^{'} (z)} \end{array}

{\begin{cases} R (z) = \frac{A (z)}{(1 - z^{- 1})^{N}} & \Rightarrow Φ_{e}^{'} (z) = (1 - z^{- 1})^{N} (1 + f_{1} z^{- 1} + f_{2} z^{- 2} + \dots + f_{M} z^{- M}) \\ G (z) z^{- (M + 1)} & \Rightarrow Φ^{'} (z) = z^{- M} (m_{1} z^{- 1} + m_{2} z^{- 2} + \dots + m_{N}^{- N}) \end{cases}

注意广义对象由于串联零阶保持器，带 $z^{- 1}$ 一个纯滞后，这个纯滞后是不计算在对象的纯滞后上的。一般如果对象表示为 $G (z) z^{- (M + 1)}$ ，则表示有 $M$ 个纯滞后

3. 对象存在单位圆外零点

对象单位圆外零点在闭环传递函数消除

\begin{array}{r} D (z) = \frac{1}{G (z) \cdot \prod_{i = 1}^{q} (1 - b_{i} z^{- 1})} \frac{Φ (z) \cdot \prod_{i = 1}^{q} (1 - b_{i} z^{- 1})}{Φ_{e}^{'} (z)} \end{array}

{\begin{cases} R (z) = \frac{A (z)}{(1 - z^{- 1})^{N}} & \Rightarrow Φ_{e} (z) = (1 - z^{- 1})^{N} (1 + f_{1} z^{- 1} + f_{2} z^{- 2} \dots + f_{q} z^{- q}) \\ G (z) \cdot \prod_{i = 1}^{q} (1 - b_{i} z^{- 1}) & \Rightarrow Φ (z) = \prod_{i = 1}^{q} (1 - b_{i} z^{- 1}) (m_{1} z^{- 1} + m_{2} z^{- 2} + \dots + m_{N}^{- N}) \end{cases}

4. 对象存在单位圆外极点

对象单位圆外极点在误差传递函数消除

\begin{array}{r} D (z) = \frac{\prod_{i = 1}^{p} (1 - a_{i} z^{- 1})}{G (z)} \frac{Φ^{'} (z)}{Φ_{e} (z) \cdot \prod_{i = 1}^{p} (1 - a_{i} z^{- 1})} \end{array}

{\begin{cases} R (z) = \frac{A (z)}{(1 - z^{- 1})^{N}} & \Rightarrow Φ_{e} (z) = (1 - z^{- 1})^{N} \prod_{i = 1}^{p} (1 - a_{i} z^{- 1}) \\ \frac{G (z)}{\prod_{i = 1}^{p} (1 - a_{i} z^{- 1})} & \Rightarrow Φ (z) = (m_{1} z^{- 1} + m_{2} z^{- 2} + \dots + m_{N}^{- N} + \dots + m_{N + p} z^{- (N + p)}) \end{cases}

5. 对象存在单位圆上极点 (1,0)

单位圆上极点 $(1, 0)$ 个数为 $k$ , 则 $Φ_{e} (z)$ 中 $(1 - z^{- 1})$ 的最高次数只需要取输入的次数和单位圆上极点个数的最大值 $m a x (k, N)$

三、全部情况综合以及实际例题

综合所有情况，保证 $z^{- 1}$ 的最高次数相等 $Φ_{e} (z) = 1 - Φ (z)$

输入信号的类型
对象的纯延迟
单位圆外的零点
单位圆外的极点
单位圆上极点(1,0)

实际例题：

\begin{array}{r} G (z) = \frac{(1 + 0.5 z^{- 1}) (1 + 1.5 z^{- 1}) z^{- 8}}{(1 - 0.5 z^{- 1}) (1 - 1.5 z^{- 1}) (1 - z^{- 1})} r (t) = \frac{1}{a} t^{11} \end{array}

{\begin{cases} Φ_{e} (z) & = (1 - z^{- 1})^{12} (1 - 1.5 z^{- 1}) (1 + f_{1} z^{- 1} + \dots + f_{8} z^{- 8}) \\ Φ (z) & = z^{- 7} (1 + 1.5 z^{- 1}) (m_{1} z^{- 1} + \dots + m_{13} z^{- 13}) \end{cases}

把 已知条件 放到前面
求出闭环传递函数时，不要急着拆开化简
零阶保持器的广义对象会带 $z^{- 1}$ ，不要看作为延迟， $z^{- N - 1}$ 看作 $N$ 个延迟
注意计算：单位圆内外的判断！
$1 - 1.59 z^{- 1} \Rightarrow z = 1.59$ 在单位圆外
$1.59 - z^{- 1} \Rightarrow z = \frac{1}{1.59}$ 在单位圆内

四、最小拍控制器的局限性

不同输入信号适应性较差：最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差
对参数变化过于敏感：如果系统参数发生变化，将使实际系统控制严重偏离期望状态
控制作用容易超过范围：设计时，对控制量未作限制
在采样点之间存在波纹（对象单位圆内零点）：只能保证在采样点上的稳态误差为零，在许多情况下，系统在采样点之间的输出出现波纹，增加了执行机构的功率损耗和机械磨损

五、最小拍控制器的改进

最小拍控制器的改进